[고체물리] Debye model (디바이 모델)

(참고) 앞서 말한 Phonon 은 Lattice vibration 이다. hk (여기서 h 는 기본적으로 하바이다) 은 phonon 의 crystal momentum 이 된다. 이는 포논은 physical momentum 을 전달하지 않으며, 당연히 이 momentum 은 physical momentum 과 다르다는 걸 알 것이다.

1.

phonon 의 thermal E 는 U= sum (hw(n_s+1/2)) 로 표현된다. 우리가 잘 아는 SHO 와 같은 꼴임을 알면 된다. 이때 n_s 는 Temperature 에서 대표되는 phonon 의 입자수이며 이는 볼츠만 factor 로 손쉽게 계산할 수 있다. 

2. Debye model

 이 모델 전개에 앞서 생각해야할 것들이 있다. 

N 개의 cell 이 존재할때 basis 안에 P 개의 atoms 가 존재한다고 한다면, 우리는 직관적으로 3PN (3D에서) 의 mode 가 존재한다는 것을 생각할 수 있다. 즉 총 N 개의 k 를 갖게 된다. 이 중 각 cell 의 acoustic branch 가 3개라는 것은 잘 알고 있을 것이다. (optical 의 경우 3P-3 개)

2-1.

우리가 생각할 것은 acoustic branch 이며, 이 branch 를 단순 직선으로 approximation 할 것이다. 즉 w,k 의 dispersion relation 을 조금 손대어 직선의 relation 으로 만든다는 의미이다. 

W_s(k)=v*lkl

2-2.

optical branch 는 무시한다. lattice 를 이루는 입자 두개가 동일하다면 1st B.Z 에서 (2pi/a 에서) 두 branch 는 동일해진다. 위의 approximation 을 하면서 직선을 만드는데 이용한 것처럼 생각한다. 간단히 말해 무시하겠다는 뜻이다.

2-3.

1st B.Z 에 국한될 필요가 없어졌다. k 축의 폭이 늘어났다고 하더라도 전체 mode 의 수는 동일해야한다.

이제 k 는 1st B.Z 을 넘어섰다. 다시말하자면 바뀐 k 길이의 구에 전체 모드 숫자가 들어가게끔 k 를 설정해 직선의 deispersion relation 을 갖도록 하면 된다. 이 값을 이제 k_D 라고 하자. 1st B.Z 은 물체의 구조마다 다르지만 debye 는 이를 단순히 구로 생각하기로 했다. 

2-3-1.

전체 sys bolume 을 k 상태당 volume 으로 나누면 총 k 수를 얻을 수 있을 것이다. 이를 시작으로 density of state 를 계산하는 것은 쉬울 것이다.