[고체물리] 페르미 에너지(Fermi Energy)

페르미 에너지란 0K 에서, 일반적으로 전자들이 가진 가장 높은 에너지 상태라고 할 수 있다.

Total Hamiltionian = H_elec + H_ion + H_elec-ion(interection term)

ion 은 무겁고 느리고 elec 은 가볍고 빠르다. 전자의 H 를 계산하려면 다음을 생각한다.

전자는 페르미온이므로 각 state 당 2개 (up down) 만 들어갈 수 있다. 따라서 하나의 state 가 가득차면 전자는 자연히 그 위 state 를 채운다. 따라서 state 를 채울 전자의 수가 많아지면 최상층의 E 가 올라갈 수 밖에 없을 것이다.  0K 에서 이렇게 쌓아올라간 전자의 최상층이 가진 E 가 Fermi Energy 이다. 이 에너지는 대략 ~1eV 로써 알고 있으면 유용한 값이다. (1 eV 는 열로 환산할 경우 굉장히 높은 값이다)

페르미 에너지 아래의 stete 상태인 전자들은 움직일 수가 없다. (그렇게 알면 편하다) 이들이 움직이려면 band gap 을 뛰어넘어야하는데 아까도 말했듯이 FE 의 1eV 도 굉장히 높은 열인데, 보통의 열로는 이들이 갭을 점프할 수 없다. 만일 전압을 걸어준다고 가정한다면 위의 빈자리가 없는 아래 전자들은 움직일 수가 없고 꼭대기층의 전자들, 즉 페르미 에너지의 전자들이 옮겨갈 것이다. 그러므로 이때 전류에 기여하는 전자들은 F.E 의 전자들이된다. 

이들의 속도는 1/2mv^2 으로 계산할 수 있다. atomic unit 로 간단히 계산하면(1eV=1/27.2 au),

(13.6)^0.5/137=v_f ~ 10^6 m/s 이다. 이 속도는 광속의 약 1% 에 불과하다. 따라서 상대론을 이 전자들에게 적용할 필요가 없다. 

위에서 말했듯이 전자와 ion 은 움직이는 속도가 다르므로 adiabatic approximation 를 적용할 수 있다.