[고체물리] phonon

고체는 adiabatic approximation 이 잘 작동한다. 이는  ion은 ion끼리, elec 은 elec 끼리 interaction 은 나중에 보존텀으로 계산하는 방법이다. 

 가장 쉬운 것은 ion 끼리 spring 으로 연결되어있다고 보는 것이다. 이를 harmonic approximation 이라 한다. 이 글을 보는 사람은 다 잘 알 것이다. H_ion = sum(all j) P^2/2m + U(u1,u2,u3....uN) 이 된다. 이는 그냥 K.E + P.E 의 합을 나타낸 것이다.  u1 등은 각각이 spring 위치 중심에서 얼마나 이동했는가를 나타낸다. 

1 차원에서 u 만큼 떨어진 ion 사이의 interaction 도 역시 SHO 모델로 나타낼 수 있다. 이때 이 모델에서 이온의 각 진동을 한번 더 quantization 한다. 이를 2nd quantization 이라고 한다. 하바*w (아래에선 그냥 h 를 하바로 쓰겠다)를 하나의 가상적인 입자로 생각하는 것이다. n=3 이면 에너지를 생각했을때 3 개의 phonon 을 생각할 수 있게 된다. (당연히 1/2hw 는 고려하지 않는다. zero point E 는 무시해야한다)  간단히 말해 hw 를 하나의 가상 입자로 생각한다는 것이다. 따라서 진동이 크면 E 가 증가하고 phonon 역시 증가한다. 

간단히 말해 phonon 은 lattice 의 vibration 을 quantization 한 것이다.

그럼 elec 과 ion 의 상호작용을 의미하는 해밀토니안 텀, 즉 H_elec+ion 은 어떻게 나타내는가.

위에서 말했듯이 이는 전자와 포논간의 상호작용을 의미하게 된다. 그러므로 E 를 포논으로 표현해보면 된다.

1차원에서 2 개 입자를 라그랑지안 eq 으로 풀어본다면 우리는 2 개의 coupled 된 mode 를 얻게 된다. 실제로 우리는 3차원에서 N 개의 입자를 생각해야하므로 3N 개의 eigenmode 가 생긴다는 것을 알 수 있다!